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第8章 关联性分析

1. 概述：关联性和依存性

在统计分析中，研究两个变量之间的关系主要分为两种类型：

  1. 关联性 (Association)：
    • 研究两个变量之间是否存在某种联系，以及联系的程度和方向。
    • 两个变量均为随机变量，地位对等，不区分自变量和因变量。
  2. 依存性 (Dependence)：
    • 研究一个变量（自变量）的变化会在多大程度上引起另一个变量（因变量）的变化。
    • 即回归分析（第9章内容）。

分析方法的选择

根据变量的数据类型，选择不同的分析指标：

  • 定量变量（连续变量） \(\rightarrow\) 相关分析 (Correlation Analysis) \(\rightarrow\) 计算 相关系数 (Correlation Coefficient)。
  • 定性变量（分类变量） \(\rightarrow\) 关联分析 (Association Analysis) \(\rightarrow\) 计算 关联系数 (Association Coefficient)。

2. 两个连续型随机变量间的相关分析

线性相关分析基础

  • 目的：推断两个连续变量之间是否存在直线（线性）相关关系。
  • 散点图 (Scatter Plot)：
    • 第一步：在进行任何相关计算前，必须先绘制散点图。
    • 作用：直观判断是否存在相关趋势、是线性还是非线性、是否存在异常值（Outliers）。
    • 类型：正相关、负相关、零相关、非线性相关。

相关系数 \(r\)​​

  • 名称：相关系数、积矩相关系数、Pearson相关系数。

  • 定义：用于说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和方向。

  • 符号：总体相关系数 \(\rho\)，样本相关系数 \(r\)。

  • 计算公式：

\[ r = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sqrt{\sum(X-\bar{X})^2 \sum(Y-\bar{Y})^2}} \]

即：协方差 / 标准差的乘积

  • 取值范围：\(-1 \le r \le 1\)。

    • \(r > 0\)：正相关。
    • \(r < 0\)：负相关。
    • \(|r|\) 越接近 1，相关性越强；\(|r|\) 越接近 0，线性相关性越差。

  • 适用条件：

    1. 两个变量均为随机变量。
    2. 两个变量服从双变量正态分布。

例题：积矩相关系数的要求

计算积矩相关系数要求（ ）。

A. \(X\)是正态变量，\(Y\)可以不满足正态的要求

B. \(Y\)是正态变量，\(X\)可以不满足正态的要求

C. 两变量都要求满足正态分布规律

D. 两变量只要是测量指标就行

E. \(X\)是定量指标，\(Y\)可以是任何类型的数据

正确答案: C

解析: Pearson积矩相关系数要求两变量均为服从双变量正态分布的定量变量。

相关系数的假设检验

相关系数也是一个统计量，由于样本存在抽样误差，计算出的 \(r \ne 0\) 并不代表总体相关系数 \(\rho \ne 0\)，必须进行假设检验。

  • 建立假设：
    • \(H_0: \rho = 0\) （两变量间无线性相关关系）
    • \(H_1: \rho \ne 0\) （两变量间有线性相关关系）
  • 检验方法：t 检验
    • 统计量：\(t = \frac{r}{\sqrt{\frac{1-r^2}{n-2}}}\)
    • 自由度：\(\nu = n-2\)
  • 结论判断：
    • 若 \(P < \alpha\)（或 \(t > t_{\alpha/2, \nu}\)），拒绝 \(H_0\)，认为两变量间存在线性相关关系。

例题：相关系数假设检验结论

对简单相关系数作假设检验，若 \(t > t_\nu\)，统计结论为（ ）。

A. 两变量不相关

B. 两变量有线性关系

C. 两变量无线性关系

D. 两变量不会是曲线关系，一定是线性关系

E. 上述说法都不准确

正确答案: B

解析: 当检验统计量 \(t > t_\nu\) 时，拒绝原假设 \(H_0: \rho = 0\)，说明两变量存在线性关系。注意：这并不排除两者同时存在非线性关系的可能性，也不代表“一定是”严格的线性关系，只是说明线性分量显著。

例题：P值含义

由样本算得相关系数 \(r\)，检验结果为 \(P < 0.01\)，说明（ ）。

A. 两变量之间有高度相关性

B. 来自高度相关的总体

C. 来自总体相关系数为0的总体

D. 来自总体相关系数不为0的总体

E. 来自总体相关系数大于0的总体

正确答案: D

解析: \(P < 0.01\) 表示在 \(\alpha = 0.01\) 水平下拒绝 \(H_0: \rho = 0\)，说明样本来自总体相关系数不为0的总体（即存在统计学意义上的相关关系）。注意：P值大小反映的是拒绝零假设的理由强弱（统计学显著性），而不是相关程度的强弱（\(r\) 的大小才反映相关程度）。

Spearman 秩相关 (\(r_s\))

  • 适用条件：
    1. 不满足正态分布。
    2. 总体分布类型未知。
    3. 原始数据是等级资料。
    4. 数据本身有不确定值（如 >65岁）。
  • 方法：先将原始数据 \(X, Y\) 转换为秩次（编秩），然后计算秩次之间的 Pearson 相关系数，称为秩相关系数 (\(r_s\))。

注意事项

  1. 相关 \(\ne\) 因果：两变量相关可能只是伴随关系，未必有内在联系。
  2. 异常值影响：离群点对 Pearson 相关系数影响很大，需慎用。
  3. 人为选定变量：如果其中一个变量是人为选定的（非随机），不宜作相关分析（应作回归分析）。

3. 两个分类变量间的关联分析

基本原理

  • 数据结构：交叉分类的列联表（Contingency Table）。
  • 分析目的：判断两个分类属性之间是否相互独立。
  • 统计方法：基于 \(\chi^2\) 检验（独立性检验）。
    • \(H_0\)：两种属性相互独立。
    • \(H_1\)：两种属性相互关联。

关联系数

\(\chi^2\) 值的大小受样本含量 \(n\) 的影响，不能直接用来比较关联程度。需计算关联系数（如 Pearson 列联系数）：

\[r = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}}\]

例题：关联性分析指标

对两个分类变量的频数表资料作关联性分析，可用（ ）。

A. 积矩相关

B. 秩相关

C. 关联系数

D. 线性相关

E. 以上均可

正确答案: C

解析: 积矩相关用于定量正态数据，秩相关用于等级或非正态数据。对于分类变量（名义变量）的列联表资料，衡量其关联强度应计算关联系数（contingency coefficient, \(C\) 或 \(r\)）。

具体类型的关联分析

交叉分类 \(2 \times 2\) 表

  • 背景：一份样本，按两个属性分类。
  • 步骤：
    1. 建立假设（独立 vs 关联）。
    2. 计算 \(\chi^2\) 值。
    3. 若 \(P < \alpha\)（拒绝独立假设），则计算关联系数 \(r\)。

\(2 \times 2\) 配对资料

  • 区别：
    • McNemar 检验（第7章）：关注差异性（阳性率是否不同），只利用非一致对子（\(b, c\)）。
    • 关联性分析（第8章）：关注一致性（两种方法结果是否相关），利用所有数据计算普通 \(\chi^2\)​ 和关联系数。
  • 公式：关联分析使用 \(\chi^2 = \sum \frac{(A-T)^2}{T}\)（同独立样本公式），而非 McNemar 的 \(\frac{(b-c)^2}{b+c}\)。

多分类资料 (\(R \times C\))

  • 方法：计算 \(\chi^2\) 统计量。
  • 自由度：\(\nu = (R-1)(C-1)\)。
  • 关联系数：\(r = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}}\)。

4.小结

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