第4章 假设检验
1. 假设检验的概念和基本思想
假设检验的目标
在生物医学研究中，经常需要判断观察到的样本与总体之间，或者两个样本之间的数值差别是由什么原因引起的。
引起差别的原因通常有两种：
-
抽样误差所致：即来自同一个总体，差别仅仅是偶然的。
-
本质差别：即来自不同的总体，差别是客观存在的。
假设检验的目标就是利用随机变量的抽样分布规律，从有限的少量实验结果中，甄别引起数据之间差别的原因，作出具有一定置信度的统计推断。
基本思想
假设检验采用的是反证法的逻辑。
首先对总体的参数或分布作出某种假设（即无效假设 \(H_0\)）。
然后，在 \(H_0\) 成立的前提下，计算出现目前样本数据以及更极端数据的概率（即 \(P\) 值）。
最后，利用概率值推断此假设是否应当被拒绝。
依据是小概率原理：小概率事件（\(P \le 0.05\)）在一次随机试验中是不太可能发生的。如果发生了，就有理由怀疑原假设的真实性。
例题：统计学意义的理解
两样本均数比较，其差别有统计学意义指的是（ ）。
A. 两总体均数的差别具有实际意义
B. 两样本均数的差别具有实际意义
C. 两样本和两总体均数的差别都具有实际意义
D. 有理由认为两总体均数有差别
E. 有理由认为两样本均数有差别
正确答案: D
解析: 统计推断是由样本推断总体，所以结论必须关于总体（排除E）。统计学意义（显著性）代表差别不是由随机误差造成的，但不代表有实际临床意义（排除A, B, C）。
例题：假设检验的步骤
假设检验的步骤是（ ）。
A. 建立假设，选择和计算统计量，确定P值和判断结果
B. 建立无效假设，建立备择假设，确定检验水准
C. 确定单侧检验或双侧检验，选择t检验或Z检验，估计I类错误和Ⅱ类错误
D. 计算统计量，确定P值，作出推断结论
E. 以上都不对
正确答案: A
解析: 标准的假设检验步骤包括三个核心环节：(1)建立检验假设（\(H_0\) 与 \(H_1\)）并确定检验水准；(2)选择适当的检验方法并计算检验统计量；(3)确定P值并作出推断结论。
2. 假设检验的步骤
第一步：建立检验假设并确定检验水准
零假设 (Null Hypothesis, \(H_0\))：即无效假设，通常假设差异是由抽样误差引起的，总体参数相等（如 \(\mu = \mu_0\)）。
备择假设 (Alternative Hypothesis, \(H_1\))：即对立假设，假设总体参数之间存在本质差异（如 \(\mu \neq \mu_0\)）。
\(H_1\) 分为双侧（\(\neq\)）和单侧（\(<\) 或 \(>\)）。
检验水准 (\(\alpha\))：即显著性水平，通常取 0.05 或 0.01。它是拒绝 \(H_0\) 的阈值。
第二步：选择检验方法，计算统计量
根据资料类型（定量/定性）、设计类型（单样本/两样本/配对）、数据分布特征（正态/非正态、方差齐/不齐）选择合适的统计量公式。
计算统计量（如 t 值、Z 值）对应的 P 值。
第三步：作出统计推断
P \(\le\) \(\alpha\)：在 \(H_0\) 成立的前提下发生了小概率事件，拒绝 \(H_0\)，接受 \(H_1\)。结论为“差异有统计学意义”。
P \(>\) \(\alpha\)：在 \(H_0\) 成立的假设下发生较为可能的事件，没有充足的理由对 \(H_0\) 提出怀疑，不拒绝 \(H_0\)。结论为“差异无统计学意义”。
注意：不拒绝 \(H_0\) 不等于证实 \(H_0\) 是正确的，只是目前的证据不足以推翻它。
3. 单组样本资料的假设检验
单组样本均数
目的：推断样本所代表的总体均数 \(\mu\) 是否与已知的总体均数 \(\mu_0\) 相等。
Z检验：适用于总体标准差 \(\sigma\) 已知，或者大样本情况。
公式：\(Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\)
t检验：适用于总体标准差 \(\sigma\) 未知，用样本标准差 \(S\) 代替，且样本来自正态总体。
公式：\(t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}\)，自由度 \(\nu = n - 1\)。
例题：单样本t检验结论
在单组样本均数与一个已知的总体均数比较的假设检验中，结果 \(t=3.24, t_{0.05,\nu}=2.086, t_{0.01,\nu}=2.845\) 正确的结论是（ ）。
A. 此样本均数与该已知总体均数不同
B. 此样本均数与该已知总体均数差异很大
C. 此样本均数所对应的总体均数与该已知总体均数差异很大
D. 此样本均数所对应的总体均数与该已知总体均数相同
E. 此样本均数所对应的总体均数与该已知总体均数不同
正确答案: E
解析: 因为 \(t=3.24 > t_{0.01,\nu}=2.845\)，故在 \(\alpha=0.01\) 水准下拒绝 \(H_0\)，说明样本所代表的总体均数与已知总体均数不同。统计推断的对象是总体，排除A、B。统计学差异不代表差异“很大”（实际意义），排除C。
例题：t统计量的意义
作单组样本均数与一个已知的总体均数比较的t检验时，正确的理解是（ ）。
A. 统计量越大，说明两总体均数差别越大
B. 统计量越大，说明两总体均数差别越小
C. 统计量越大，越有理由认为两总体均数不相等
D. P值就是t值
E. P值不是t值，且总是比t值小
正确答案: C
解析: t统计量的值越大，对应的P值越小，说明越小概率是偶然误差造成的，因此越有理由拒绝 \(H_0\)，认为总体均数不相等。t值本身不直接代表差异的绝对大小（还需要考虑标准误）。
单组样本频率
目的：推断样本频率 \(p\) 所代表的总体概率 \(\pi\) 是否与已知总体概率 \(\pi_0\) 相等。
直接计算概率法：利用二项分布公式直接计算。
Z检验（正态近似法）：适用于 \(n\) 较大，且 \(n\pi_0\) 和 \(n(1-\pi_0)\) 均大于 5 的情况。
公式：\(Z = \frac{p - \pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}\)
4. 假设检验的两种错误
假设检验是依据样本信息作推断，结论具有概率性，因此可能犯错误。
I 型错误 (Type I Error)
定义：弃真错误。\(H_0\) 实际上是正确的，但检验结果拒绝了 \(H_0\)。
概率：犯 I 型错误的概率为 \(\alpha\)（即检验水准）。
控制：可以通过设定较小的 \(\alpha\)（如 0.01）来控制。
II 型错误 (Type II Error)
定义：纳伪错误。\(H_0\) 实际上是不正确的（\(H_1\) 成立），但检验结果不拒绝 \(H_0\)。
概率：犯 II 型错误的概率为 \(\beta\)。
检验功效 (Power)：\(1 - \beta\)。表示当 \(H_1\) 成立时，正确地拒绝 \(H_0\) 的能力。
两类错误的关系
\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是相互关联的。在样本量 \(n\) 确定的情况下，减小 \(\alpha\) 会导致 \(\beta\) 增大（反之亦然）。
要同时减小 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，唯一的办法是增加样本含量 \(n\)。
检验功效的影响因素
（1）总体参数间差异越大，检验功效越大
（2）标准误（标准差）越小，检验功效越大
（3）样本含量\(n\)越大，使得标准误越小，检验功效越大
（4）检验水平α设定值越大，检验功效越大
例题：两类错误的关系
样本均数比较作t检验时，分别取以下检验水准，以（ ）所取Ⅱ类错误最小。
A. \(\alpha=0.01\)
B. \(\alpha=0.02\)
C. \(\alpha=0.05\)
D. \(\alpha=0.10\)
E. \(\alpha=0.20\)
正确答案: E
解析: I类错误 (\(\alpha\)) 与 II类错误 (\(\beta\)) 呈反向变化关系。\(\alpha\) 越大，\(\beta\) 越小。在选项中，E选项的 \(\alpha=0.20\) 最大，因此对应的 \(\beta\) 最小。
例题：检验功效的影响因素
下列（ ）是检验功效的影响因素的是：
A. 总体标准差
B. 容许误差（均数差值 \(\delta\)）
C. 样本含量
D. I类错误 (\(\alpha\))
E. 样本是奇数个还是偶数个
正确答案: A B C D
解析: 检验功效 (\(1-\beta\)) 受以下因素影响：1. 总体参数间的差异（\(\delta\)），差异越大功效越高；2. 总体标准差 (\(\sigma\))，越小功效越高；3. 样本含量 (\(n\))，越大功效越高；4. 检验水准 (\(\alpha\))，\(\alpha\) 设得越大，功效越高。
例题：错误类型的辨析
下列有关I型错误和Ⅱ型错误的叙述，说法正确的是（ ）。
A. 若“拒绝 \(H_0\)”，犯错误的可能性为 \(\beta\)
B. 若“接受 \(H_0\)”，不可能犯I型错误
C. 拒绝了实际成立的 \(H_0\) 所犯的错误为I型错误
D. 对同一资料，I型错误与Ⅱ型错误的概率大小没有联系
E. 若想同时减少I型错误与Ⅱ型错误的概率，只有减少样本含量
正确答案: C
解析: A错，拒绝 \(H_0\) 时可能犯 I 型错误（概率 \(\alpha\)）；B错，接受（不拒绝）\(H_0\) 时可能犯 II 型错误；D错，两者此消彼长；E错，应增加样本含量。
例题：正态性检验的错误
正态性检验，按 \(\alpha=0.10\) 检验水准，认为其总体服从正态分布，此时若推断有错，其错误的概率为（ ）。
A. 大于0.10
B. 等于0.10
C. 小于0.10
D. 等于 \(\beta\)，而 \(\beta\) 未知
E. 等于 \(1-\beta\)，而 \(\beta\) 未知
正确答案: D
解析: 正态性检验的 \(H_0\) 是“总体服从正态分布”。结论是“认为总体服从正态分布”，即不拒绝 \(H_0\)。此时如果推断错了（实际上不服从），犯的是 II 型错误，概率为 \(\beta\)。由于 \(\beta\) 取决于具体的备择假设分布，通常是未知的。
5. 案例辨析与注意事项
假设检验与置信区间的关系
联系：两者都是利用样本信息推断总体。置信区间也可以回答假设检验的问题（看区间是否包含 \(H_0\) 的值）。
区别： 假设检验推断的是“质”的不同（是否有差异），给出一个确切的概率值 P。 置信区间推断的是“量”的大小（参数的范围），不仅能判断统计学意义，还能提示实际专业意义（效应量大小）。
结论：两者结合使用，分析更完整。
例题：两样本抽样推断
甲、乙两人分别从同一随机数字表抽取30个（各取两位数字）随机数字作为两个样本，求得 \(\bar{X}_1\)、\(\bar{X}_2\)，则理论上（ ）。
A. \(\bar{X}_1 = \bar{X}_2\)
B. \(S_1^2 = S_2^2\)
C. 由甲、乙两样本均数之差求出的总体均数95%可信区间，很可能包括0
D. 作两样本均数比较的t检验，必然得出无统计学意义的结论
E. 作两样本方差比较的F检验，必然方差齐
正确答案: C
解析: 既然来自“同一”随机数字表，理论上两样本来自同一总体，总体均数差 \(\mu_1 - \mu_2 = 0\)。因此，样本均数之差的置信区间有 95% 的概率包含总体均数差（即 0）。D 选项错在“必然”，因为即使 \(H_0\) 成立，仍有 \(\alpha\)（如 0.05）的概率犯 I 型错误，得出有统计学意义的结论。
例题：差异大小的判断
两样本均数比较时，能用来说明两组总体均数间差别大小的是（ ）。
A. t值
B. P值
C. F值
D. 两总体均数之差的95%置信区间
E. 上述答案均不正确
正确答案: D
解析: t值和P值反映的是统计学上的显著性（是不是随机误差），受样本量影响很大，不能直接代表差异的程度。置信区间直接估计了参数差值的范围，能反映效应量（差别）的大小。
统计学意义 vs. 专业意义
统计学意义：\(P \le \alpha\)，说明差异不太可能是随机误差造成的。
专业意义：差异的数值大小在临床或生物学上是否有价值。
统计学有意义不一定有专业意义（如样本量极大时，微小的差别也能得出 \(P < 0.05\)）。
统计学无意义不一定无专业意义（可能是样本量太小，导致检验功效不足）。
结论表述
不能绝对化，不要用“肯定”、“一定”等词汇。
应给出具体的 P 值，而不是简单写 \(P < 0.05\)。