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第2章 概率分布

1. 引言

频率与概率

样本分布的描述：通常使用频率分布表和直方图来描述（第1章内容）。

总体分布的描述：通常使用概率（密度）分布来描述，包括正态分布、二项分布、Poisson分布等。

二者关系：随机变量的频率密度直方图近似反映概率密度分布。样本含量越大，频率密度直方图越接近概率密度分布。

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2. 正态分布 (Normal Distribution)

概念与特征

定义：正态分布是自然界最常见的一种分布，测量误差、人体的尺寸、医学中的许多检测指标都近似服从正态分布。其概率密度函数（PDF）记作 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。

图形特征：

在横坐标上方呈钟型曲线，两端与X轴永不相交，且以 \(X=\mu\) 为对称轴，左右完全对称。

在 \(X=\mu\) 处，\(f(X)\) 取最大值。\(X\) 越远离 \(\mu\)，\(f(X)\) 值越小。

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两个参数的意义：

位置参数 \(\mu\)：决定曲线在X轴上的位置。若固定 \(\sigma\)，改变 \(\mu\) 值，曲线沿着X轴平行移动，其形状不变。

形态参数 \(\sigma\)：决定曲线的形态。若固定 \(\mu\)，\(\sigma\) 越小，曲线越陡峭；\(\sigma\) 越大，曲线越平坦。

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面积分布规律：

X轴与正态曲线所夹面积恒等于1（即100%）。

区间 \(\mu \pm 1\sigma\) 的面积约为 68.2%。

区间 \(\mu \pm 1.96\sigma\) 的面积约为 95%。

区间 \(\mu \pm 2.58\sigma\) 的面积约为 99%。

区间 \(\mu \pm 1.64\sigma\) 的面积约为 90%。

例题：正态分布面积规律

某资料的观察值呈正态分布，理论上有（ ）的观察值落在 \(\bar{X} \pm 1.96S\) 范围内。

A. 68.27%

B. 90%

C. 95%

D. 99%

E. 45%

正确答案: C

解析: 正态分布中，约95%的观察值落在 \(\bar{X} \pm 1.96S\) 范围内。

例题：正态分布单侧面积

正态曲线下，从均数到+1.64\(\sigma\)的面积为（ ）。

A. 45%

B. 90%

C. 95%

D. 47.5%

E. 99%

正确答案: A

解析: 正态分布是对称的，\(\mu \pm 1.64\sigma\) 包含90%的面积，因此从均数（中心）到单侧+1.64\(\sigma\)的面积为90%的一半，即45%。

标准正态分布

定义：均数 \(\mu=0\) 且标准差 \(\sigma=1\) 的分布称为标准正态分布，记作 \(N(0,1)\)。

标准化变换：通过变量变换 \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\)，可以将任意正态分布转化为标准正态分布。

累积分布函数 (CDF)：表示区间 \((-\infty, x)\) 内的累积概率，即曲线下方的面积。

正态分布变量的性质

正态分布变量之和、之差都仍然服从正态分布。

均数为两者之和或之差：\(E(X_1 \pm X_2) = \mu_1 \pm \mu_2\)。

方差总是两者之和：\(Var(X_1 \pm X_2) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2\)。

正态分布的应用

制定医学参考值范围

定义：指包括绝大多数正常人的人体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标常数，也称正常值。

制定方法

正态分布法（双侧）

适用于正态分布资料。双侧95%参考值范围为 \(\bar{X} \pm 1.96S\)​。

因血红蛋白过高、过低均为异常。所以按双侧估计95%医学参考值范围。

百分位数法

适用于任何分布型的资料，特别是偏态分布。双侧95%参考值范围取 \(P_{2.5} \sim P_{97.5}\)​。

双侧95%参考值范围：(P2.5, P97.5)如：白细胞数无论过低或过高均属异常

单侧范围：P95以下，如血铅、血清转氨酶仅过高异常 ，或P5以上，如肺活量仅过低异常。

例题：偏态分布参考值制定

在制定医学参考值范围时，若资料呈明显偏态分布，应优先采用哪种方法？

A. 均数±1.96标准差

B. 均数±2.58标准差

C. 百分位数法

D. 几何均数法

E. 中位数±四分位间距

正确答案: C

解析: 百分位数法适用于任何分布，尤其适用于偏态资料；正态分布法仅适用于近似正态分布资料。

例题：对数正态分布参考值

若正常人的血铅含量X近似服从对数正态分布，则制定X的95%参考值范围，最好采用（其中Y=lgX，Sy为Y的标准差）（ ）。

A. \(\bar{X} \pm 1.96S\)

B. \(P_{2.5} \sim P_{97.5}\)

C. \(lg^{-1}(\bar{Y} + 1.64S_Y)\)

D. \(lg^{-1}(\bar{Y} + 1.96S_Y)\)

E. \(P_5 \sim P_{95}\)

正确答案: C

解析: 血铅含量通常仅过高为异常，故应制定单侧上限（P95）。对于对数正态分布，先取对数转化为正态分布Y，计算单侧95%上限 \(\bar{Y} + 1.64S_Y\)，再取反对数还原。

质量控制

原理：如果测量误差仅由随机误差引起，测量数据的波动应服从正态分布。

控制图：利用 \(\bar{X} \pm 3S\) 作为上、下控制限，\(\bar{X} \pm 2S\) 作为上、下警戒限。

统计方法的理论基础

许多统计方法（如t检验、方差分析）要求资料服从正态分布。对属于非正态分布的资料，要先进行变量变换。

有些统计量的分布（如t分布、\(\chi^2\) 分布、F分布等）都是在正态分布的基础上推演出来的。

二项分布和Poisson分布在样本量大时近似正态分布。

3. 二项分布 (Binomial Distribution)

定义与概率

伯努利试验：对于任意一次试验，如果只有事件A发生和不发生两种结果，概率分别为 \(\pi\) 和 \(1-\pi\)。

定义：在相同条件下进行 \(n\) 次独立重复试验，事件发生的次数 \(X\) 服从二项分布，记做 \(X \sim B(n, \pi)\)。

概率公式：\(P(X=k) = C_n^k \pi^k (1-\pi)^{n-k}\)。

分布特征

均数与标准差

总体均数 \(\mu = n\pi\)

总体方差 \(\sigma^2 = n\pi(1-\pi)\)

总体标准差 \(\sigma = \sqrt{n\pi(1-\pi)}\)

图形形状

决定图形的两个参数是 \(n\) 和 \(\pi\)。

当 \(\pi=0.5\) 时，图形对称。

当 \(\pi \ne 0.5\) 且 \(n\) 较小时，图形呈偏态。

中心极限定理

当 \(n\) 较大，且 \(n\pi\) 与 \(n(1-\pi)\) 均大于5时，二项分布接近正态分布。

例题：二项分布的对称性

在样本例数不变的情况下，若（ ），则二项分布越接近对称分布。

A. 总体率越大

B. 样本率p越大

C. 总体率越小

D. 总体率越接近0.5

E. 总体率接近0.1或0.5

正确答案: D

解析: 二项分布中，当总体率 \(\pi\) 越接近0.5时，分布越接近对称分布。

应用条件与实例

应用条件：

1.各观察单位仅具有相互对立的两种结果。

2.已知某一结果的概率为 \(\pi\)，且固定不变。

3.\(n\)个观察单位的观察结果相互独立。

生物医学应用：例如细胞膜上单离子通道电流的检测（利用二项分布均值和方差的关系进行噪声分析）。

4. 泊松分布 (Poisson Distribution)

定义与特征

定义：描述单位时间、单位面积或单位空间中罕见事件（Rare events）发生数的分布规律。可以看作是二项分布在 \(n \to \infty, \pi \to 0\) 时的极限。

概率公式：\(P(X=k) = \frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\)，记为 \(X \sim \Pi(\mu)\)。

参数特征：

\(\mu\) 是Poisson分布的唯一参数，即总体均数。

总体均数等于总体方差：\(\mu = \sigma^2\)。

例题：Poisson分布参数关系

Poisson 分布的均数 \(\lambda\)（即 \(\mu\)）与标准差的关系是（ ）。

A. \(\lambda = \sigma\)

B. \(\lambda < \sigma\)

C. \(\lambda > \sigma\)

D. \(\lambda = \sqrt{\sigma}\)

E. \(\lambda = \sigma^2\)

正确答案: E

解析: Poisson分布的均数等于方差 (\(\sigma^2\))，即 \(\lambda = \sigma^2\)。

分布图形与可加性

图形：随着 \(\mu\) 增大，分布趋于对称；当 \(\mu \ge 20\) 时，接近正态分布。

可加性：相互独立的Poisson分布变量之和仍服从Poisson分布。

（此处建议插入PPT中“不同均值下的Poisson分布图形”的图片）

例题：血小板计数

某实验室用显微镜计数血小板，每视野平均计数为3个。若要使计数结果近似服从正态分布，应采取什么措施？

A. 减少视野数量

B. 仅计数1个视野

C. 合并多个视野使总均数≥20

D. 使用二项分布建模

E. 改用中位数描述

正确答案: C

解析: Poisson分布在均数 \(\mu \ge 20\) 时近似正态分布。通过合并相互独立的观察单位（如多个视野），可以提高总均数，使其满足正态近似条件。

应用场景

Poisson分布常用于描述稀有事件的发生次数。例如：

1.放射性物质单位时间内的放射次数。

2.单位体积内粉尘或细菌的计数。

3.人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数。

例题：稀有事件分布

铅作业工人周围血点彩红细胞在血片上的出现数近似服从（ ）。

A. 二项分布

B. 正态分布

C. 偏态分布

D. Poisson 分布

E. 对称分布

正确答案: D

解析: 铅作业工人血点彩红细胞出现数属于稀有事件（发生概率极低），近似服从Poisson分布。