第1章 统计描述
1. 概述
统计分析的组成
统计分析主要包含两个部分
统计描述：利用统计指标和统计图表描述样本资料的分布规律及其数量特征。
统计推断：利用样本信息推断总体特征。
本章重点在于如何从数据中提取信息，通过指标和图表进行表达。
2. 定量资料的统计描述
定量资料的描述主要通过频率表、直方图以及各类统计指标来进行。
频率表与直方图
频率表用于考察资料的分布形状。制作步骤包括求全距、确定组距、划分组段、统计频数。
频率表
直方图
直方图的3种纵坐标
频数（组距中的个体数）
频率（个体数/总体数，即百分比）
频率密度（频率/组距）
组段的划分原则
组段通常取10-15组。
组段必须连续且不重叠。
通常采用“左闭右开”区间（\(L \le X < U\)）或特定精度下的互斥区间。
例题：频率表的编制
编制频数表时错误的作法是（ ）。
A. 用最大值减去最小值求全距
B. 组距常取等组距，一般分为10~15组
C. 第一个组段须包括最小值
D. 最后一个组段须包括最大值
E. 写组段，如“1.5~3，3~5，5~6.5，…”
正确答案: E
解析: 编制频数表时，组段应连续且不重叠，通常采用“下限≤x＜上限”的形式（如“1.5~<3.0”）。选项E中“3”同时出现在两个组段（“1.5~3”和“3~5”），造成边界重复，易引起归类混乱。
用途
（1）考察资料的分布特性和类型
如：对称分布、偏峰分布
（2）描述频数分布的特征量
如：变异范围（全距）、数据集中的部位等
（3）便于发现一些特大或特小的可疑值
（4）便于进一步做统计分析和处理
统计描述指标
集中趋势指标 (Average Level)
描述一组变量值的集中位置或平均水平。
算术均数 (Arithmetic Mean)
定义：所有观察值之和除以观察值个数，符号为 \(\bar{X}\)（样本）或 \(\mu\)（总体）。
适用条件：单峰对称分布，特别是正态分布资料。
几何均数 (Geometric Mean)
定义：n个变量值乘积的n次方根，符号为 \(G\)。
适用条件：等比级数资料，或经对数转换后呈对称分布的资料（如抗体滴度、细菌计数等）。
例题：几何均数的应用
以下哪种资料最适合用几何均数描述其平均水平？
A. 某地100名新生儿的出生体重（kg）
B. 某班级学生期末考试成绩
C. 某人群血清抗体滴度数据
D. 住院天数（天）
E. 某地区每日门诊量
正确答案: C
解析: 几何均数适用于等比资料或对数转换后呈对称分布的资料，如抗体滴度、细菌浓度等。
中位数 (Median)
定义：将一组数值从小到大排列后，位次居中的数值，符号为 \(M\)。
特点：不受极端值影响。
适用条件：偏态分布资料、一端或两端无确切数值（开口资料）、分布类型不明的资料。
例题：偏态分布的描述
描述一组负偏峰分布资料的平均水平时，适宜的统计量是（ ）。
A. 中位数
B. 几何均数
C. 调和均数
D. 算术均数
E. 众数
正确答案: A
解析: 负偏峰（左偏）分布中，数据左侧有长尾，算术均数受极端小值影响而小于中位数，此时中位数更能代表集中趋势，不受极端值干扰。
百分位数 (Percentile)
定义：将数据分为两部分，\(P_X\) 表示有 \(X\%\) 的变量值比它小。
常用指标：\(P_{50}\) 即中位数；\(P_{25}\) 为下四分位数；\(P_{75}\) 为上四分位数。
离中趋势指标 (Variation)
描述变量值的变异程度或离散水平。
全距 (Range)
定义：最大值与最小值之差 (\(R = Max - Min\))。
缺点：仅利用了两个极端值的信息，不稳定。
四分位数间距 (IQR)
定义：上四分位数与下四分位数之差 (\(IQR = P_{75} - P_{25}\))。
意义：反映了中间50%数据的变异程度，比全距稳定。
适用：偏态分布资料。
例题：IQR的定义
关于四分位数间距（IQR），下列说法正确的是？
A. IQR = P90 – P10
B. IQR受极端值影响较大
C. IQR适用于描述对称分布资料的离散程度
D. IQR = P75 – P25，反映中间50%数据的变异
E. IQR的单位与原始数据不同
正确答案: D
方差 (Variance) 与标准差 (Standard Deviation)
方差：也称均方差，反映数据平均离散水平。
标准差 (S)：方差的算术平方根，具有与原始数据相同的量纲。
意义：S 越小，说明数据越集中于均数附近，均数的代表性越好。
适用：正态分布或近似正态分布资料。
例题：均数与标准差的关系
均数和标准差S的关系是（ ）。
A. S越小，对样本中其他个体的代表性越好
B. S越大，对样本中其他个体的代表性越好
C. 均数越小，S越大
D. 均数越大，S越小
E. 均数必小于S
正确答案: A
解析: 标准差S反映数据围绕均数的离散程度。S越小，说明数据越集中于均数附近，均数对样本中其他个体的代表性越好。
变异系数 (Coefficient of Variation, CV)
定义：标准差与均数之比 (\(CV = S/\bar{X} \times 100\%\))。
特点：无量纲。
适用条件：
比较不同量纲（单位）变量的变异程度（如身高 vs 体重）。
比较均数相差较大的同一指标的变异程度（如儿童身高 vs 成人身高）。
例题：变异程度的比较
比较5年级小学生瞳距和他们坐高的变异程度，宜采用（ ）。
A. 变异系数
B. 全距
C. 标准差
D. 四分位数间距
E. 百分位数P2.5与P97.5的间距
正确答案: A
解析: 瞳距与坐高单位相同但均值差异较大，或者即使单位不同，比较不同量纲或均值相差较大的变量的变异程度时，应使用无量纲的变异系数。
例题：标准差与CV的区别
标准差与变异系数的主要区别在于？
A. 标准差有单位，变异系数无单位
B. 标准差适用于偏态分布，变异系数适用于正态分布
C. 变异系数总是小于标准差
D. 标准差可用于定性资料，变异系数不能
E. 两者计算方法完全相同
正确答案: A
解析: 变异系数是标准差与均数之比，消除了量纲。
例题：离中趋势指标汇总
以下表示离中趋势的是：
A. 全距
B. 四分位数间距
C. 方差
D. 标准差
E. 变异系数
正确答案: A B C D E
分布趋势指标
偏度 (Skewness)
描述分布不对称的方向和程度。数据相对于平均值的不对称变化程度
正偏态 (Positive Skew)：长尾向右（大数值方向），Mean > Median。
负偏态 (Negative Skew)：长尾向左（小数值方向），Mean < Median。
正态分布：偏度 = 0。
公式：\(\frac{m_3}{s^3}\)，\(m_3\)为三阶中心矩
峰度 (Kurtosis)
描述分布的陡峭或平坦程度。数据分布高耸程度的衡量指标
正态分布：峰度 = 3 (或 0，取决于算法定义)。
公式：\(\frac{m_4}{s^4}\)，\(m_4\)为四阶中心矩
3. 定性资料的统计描述
定性资料主要使用相对数指标进行描述。
常用相对数指标
频率 (Frequency)
定义：表示某一事件的发生率（如发病率、死亡率）。
公式：\(\frac{\text{某事件发生的个体数}}{\text{可能发生某事件的个体总数}} \times K\)。
特点：分子是分母的一部分，无量纲，取值 0-1。
例题：频率的计算
计算乙肝疫苗接种后血清抗-HBs的阳转率，分母为（ ）。
A. 阳转人数
B. 疫苗接种人数
C. 乙肝患者数
D. 乙肝病毒携带者数
E. 易感人数
正确答案: B
解析: 阳转率 =（接种后抗体阳转人数 / 接种疫苗总人数）×100%，分母应为实际接受疫苗接种的人数。
强度 (Intensity)
定义：单位时段内某事件的发生率，常带有时间单位（如人年）。
公式：\(\frac{\text{某事件发生的个体数}}{\sum(\text{可能发生该事件的个体总数} \times \text{时间})} \times K\)。
适用：大人群长时间随访资料，分母为“人时”或“人年”。
例题：强度指标的判断
某医院的院内感染率为5.2人/千人日，则这个相对数指标属于（ ）。
A. 频率
B. 频率分布
C. 强度
D. 相对比
E. 算术均数
正确答案: C
解析: 强度相对数表示单位时间、单位人群或单位暴露下的事件发生频率，具有“率”的性质，常带有时间或暴露单位（如人/千人日）。
相对比 (Relative Ratio)
定义：两个相关联的变量 A 与 B 之比 (\(A/B\))。
特点：A 与 B 互不包含，量纲可以不同。
例子：性别比、变异系数、相对危险度(RR)、比值比(OR)。
应用相对数的注意事项
使用相对数时需严谨，避免误用。
概念混淆：需区分频率、强度和相对比。
分母过小：样本量太小时，相对数波动大，宜直接用绝对数。
率的合并：观察单位数不等的几个率，不能直接相加求平均，应遵循“分子之和除以分母之和”的原则。
可比性：比较时需注意内部构成（如年龄结构）的影响，必要时进行标准化处理。
例题：相对数应用注意事项
应用相对数指标时，应该注意的是（可能出大题）：
A. 防止概念混淆，相对数的计算是两部分观察结果的比值，根据这两部分观察结果的特点，就可以判断所计算的相对数属于频率，强度，还是相对比等
B. 计算相对数时分母不宜过小，样本量较小时以直接报告绝对数为宜。
C. 观察单位数不等的几个相对数，不能直接相加求其平均水平。
D. 相对数间的比较须注意可比性，有时需分组讨论或计算标准化率。
正确答案: A B C D
4. 统计图表的制作
统计表 (Statistical Table)
三线表：主要由顶线、底线、分隔线（纵标目下）组成。
制表原则：
重点突出，一张表表达一个主题。
简单明了，不留空格，无数字用“—”表示，缺失用“…”表示。
注释放在表下方。
统计图 (Statistical Chart)
用几何图形形象化表达数据。
常用图形及其适用范围
| 图形 | 适用资料 | 特点/注意事项 |
|---|---|---|
| 条图 (Bar Chart) | 组间数量对比 | 直条高度表示数量大小，纵轴必须从0开始。 |
| 百分条图/饼图 | 构成比（频率分布） | 面积或角度表示比例。 |
| 直方图 (Histogram) | 定量变量的频率分布 | 面积表示频率，直条间无间隙。 |
| 线图 (Line Chart) | 变量随时间或有序指标的变化 | 需用算术尺度坐标。 |
| 散点图 (Scatter Plot) | 双变量间的相关关系 | |
| 箱式图 (Box Plot) | 定量变量的分布特征 | 箱式图用5个统计量反映数据的分布特性。展示5个统计量（Min, \(P_{25}\), \(P_{50}\), \(P_{75}\), Max），纵轴可不从0开始。 |
例题：统计图坐标轴设置
纵坐标可以不从0开始的图形为（ ）。
A. 直方图
B. 单式条图
C. 复式条图
D. 箱式图
E. 以上均不可
正确答案: D
解析: 直方图、条图等用于表示绝对数量或频率的图形，纵轴必须从0开始，否则会误导视觉；而箱式图展示的是数据的分布特征（如中位数、四分位数、异常值），其纵轴反映的是数据的实际取值范围，可不从0开始。