原作者: cc98 @camrxc

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Chapter 5 大数定律与中心极限定理

依概率收敛

概率不等式

马尔可夫不等式

​ 设随机变量$Y$的$k$阶矩存在（$k>0$），则对任意$\epsilon >0$​，有 $$P(|Y|\ge \epsilon )\le \frac{E(|Y{|}^k)}{{\epsilon }^k}$$

切比雪夫不等式

​ 设随机变量X的数学期望和方差存在，分别记为$\mu$,${\sigma }^2$，则对任意的$\epsilon >0$​, 有 $$P(|X-\mu |\ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$

大数定律

切比雪夫大数定律

​ 设$\{X_i,i\ge 1\}$为独立的随机变量序列，具有相同的数学期望$\mu$和方差${\sigma }^2$，则对任意的$\epsilon >0$​，有 $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu |\ge \epsilon )=0$$

辛钦大数定律

​ 设$\{X_i,i\ge 1\}$​为独立同分布的随机变量序列，且数学期望存在，记为$\mu$​，则对任意的$\epsilon >0$​​，有 $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu |\ge \epsilon )=0$$

辛钦大数定律推论

​ 设$\{X_i,i>=1\}$为独立同分布的随机变量序列，若$h(x)$为一连续函数，且$E(h(X_i))<+\mathrm{\infty }$，则对任意的$\epsilon >0$,有 $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}h(X_i)-a|\ge \epsilon )=0$$ 其中$a=E(h(X_i))$​

贝努利大数定律

​ 设$n_A$为$n$重贝努利试验中事件A发生的次数，并记事件$A$在每次试验中发生的概率为$p$​，则有 $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(|\frac{n_A}{n}-p|\ge \epsilon )=0$$

中心极限定理

​ 设$\{X_i,i\ge 1\}$为独立同分布的随机变量序列，具有相同的数学期望$\mu$和方差${\sigma }^2$

​ 当$n$充分大时，$\sum _{i=1}^n{X}_i$近似服从$N(n\mu ,n{\sigma }^2)$

​ $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$近似服从$N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$

推论

​ 当$n$充分大时，$B(n,p)$近似服从$N(np,np(1-p))$​

by 赵敏智老师