原作者: cc98 @camrxc

Chapter 5 大数定律与中心极限定理

依概率收敛

概率不等式

马尔可夫不等式

设随机变量$Y$的$k$阶矩存在（$k>0$），则对任意$\varepsilon >0$，有 $$ P(|Y|\ge \varepsilon)\le \frac{E(|Y|^k)}{\varepsilon^k} $$

切比雪夫不等式

设随机变量X的数学期望和方差存在，分别记为$\mu$,$\sigma^2$，则对任意的$\varepsilon>0$, 有 $$ P(|X-\mu|\ge \varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$

大数定律

切比雪夫大数定律

设$\{X_i,i\ge1\}$为独立的随机变量序列，具有相同的数学期望$\mu$和方差$\sigma^2$，则对任意的$\varepsilon>0$，有 $$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P(|\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\mu|\ge\varepsilon)=0 $$

辛钦大数定律

设$\{X_i,i\ge1\}$为独立同分布的随机变量序列，且数学期望存在，记为$\mu$，则对任意的$\varepsilon>0$，有 $$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P(|\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\mu|\ge\varepsilon)=0 $$

辛钦大数定律推论

设$\{X_i,i>=1\}$为独立同分布的随机变量序列，若$h(x)$为一连续函数，且$E(h(X_i))<+\infty$，则对任意的$\varepsilon>0$,有 $$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P(|\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nh(X_i)-a|\ge\varepsilon)=0 $$ 其中$a=E(h(X_i))$

贝努利大数定律

设$n_A$为$n$重贝努利试验中事件A发生的次数，并记事件$A$在每次试验中发生的概率为$p$，则有 $$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P(|\frac{n_A}{n}-p|\ge\varepsilon)=0 $$

中心极限定理

设$\{X_i,i\ge1\}$为独立同分布的随机变量序列，具有相同的数学期望$\mu$和方差$\sigma^2$

当$n$充分大时，$\sum\limits_{i=1}^nX_i$近似服从$N(n\mu,n\sigma^2)$

$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$近似服从$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

推论

当$n$充分大时，$B(n,p)$近似服从$N(np,np(1-p))$

by 赵敏智老师