Chapter 3 多维随机变量及其分布
二维随机变量分布函数
联合分布函数
定义
\(F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}\)为\((X,Y)\)的联合概率分布函数
性质
（1）\(F(x_0,y)\)关于\(y\)单调不减；\(F(x,y_0)\)关于\(x\)单调不减
（2）\(F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1\)
（3）\(F(x,y)\)关于\(x\)右连续，关于\(y\)右连续
（4）\(F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)=P\{x_1< X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}\ge0\)
边际分布函数
\(F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<+\infty\}=F(x,+\infty)\)
同理\(F_Y(y)=F(+\infty,y)\)
条件分布函数
\(F_{Y|X}(y|x_i)=P\{Y\le y|X=x_i\}\)
二维连续型随机变量
联合分布
则称\(f(x,y)\)为\((X,Y)\)的联合概率密度函数
性质
（1）\(\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)dudv=1\)
（2）在\(f(x,y)\)连续处，\(\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)\)
（3）\(P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy\)
边际分布
边际密度函数 $$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy $$
条件分布
条件密度函数 $$ f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} $$
条件密度函数=联合密度函数/边际密度函数
二元均匀分布
二元正态分布
表达式不要求掌握，共5个参数，\(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho\)
当且仅当\(\rho=0\)时，\(X,Y\)独立
\(X,Y\)的边际分布和条件分布也是正态分布
随机变量独立性
\(P\{X\in D_1,Y \in D_2\}=P\{X\in D_1\}\cdot P\{Y\in D_2\}\)
则称\(X,Y\)独立
\(f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\)几乎处处成立为\(X,Y\)独立的等价定义
二维型随机变量相互独立的充分必要条件
\(f(x,y)=m(x)\cdot n(y)\)几乎处处成立
在实际运用时，要注意\(x,y\)的取值范围不能与另一个变量有关，有关时也是视为不可分解的
一个重要结论
若\((X_1,X_2,...,X_m)\)与\((Y_1,Y_2,...,Y_n)\)相互独立，\(g_1\)和\(g_2\)是两个连续函数，则\(g_1(X_1,X_2,...,X_m)\)与\(g_2(Y_1,Y_2,...,Y_n)\)相互独立
例
若\(X\)与\(Y\)独立，则\(X^2\)与\(Y\)独立
多元随机变量的分布
\(Z=X+Y\)的分布
卷积公式
\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy\)
其他形式可以通过积分变量替换来推导，推导时要从概率分布函数开始，关键是求出雅可比行列式，交换积分次序，得概率分布函数，最后求导得密度函数，见书p107。
特别地，\(X,Y\)相互独立时 $$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx $$
当密度函数不复杂时，如均匀分布，可考虑面积之比求概率密度函数；其他不复杂的函数，可以通过求概率分布函数的方法来求\(Z\)的概率密度函数，此方法变形也可适用，如\(Z=2X-3Y\)等形式
例题
推导出的一个结论
\(n\)个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布，其参数为\(n\)个分布的参数的和
\(X,Y\)最大值最小值的分布
基本公式
\(M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}\)
\(F_M(t)=F_X(t)\cdot F_Y(t)\)
\(1-F_N(t)=(1-F_X(t))(1-F_Y(t))\)
推广到多变量思想相同