Chapter 2 随机变量及其概率分布

离散型随机变量

0-1分布（两点分布） $$ P({X=k})=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1. $$

二项分布 $$ P({X=k})=C_n^kp^k(1-p)^{1-k},k=0,1,2,...,n. $$

记为$X$~$B(n,p)$

泊松分布 $$ P({X=k})=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2,..., $$

泊松分布有着非常广泛的应用。当n足够大，p充分小（一般要求p<0.1）时，且np保持适当大小，参数为（n，p）的二项分布可用泊松分布近似描述，且$\lambda=np$

泊松分布具有可加性 $$ P(\lambda_1)+P(\lambda_2)=P(\lambda_1+\lambda_2) $$

定义 $$ F(x)=P(X\le x) $$ 则 $$ P(x_1< X \le x_2)=F(x_2)-F(x_1) $$ 性质

（1）$F(x)$单调不减

（2）$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$

（3）$F(x+0)=F(x)$ ,即 $F(x)$为右连续函数

定义 $$ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt,f(x)\ge0 $$ 则称$X$为连续型随机变量,$f(x)$为概率密度函数，简称密度函数

性质

（1）$f(x)\ge0$

（2）$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$

（3）$P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$

（4）$P(X=a)=0$，连续型随机变量落在开区间和闭区间的概率相等。由此可得出重要结论：概率为0不一定是不可能事件，概率为1不一定是必然事件

（5）在$f(x)$的连续点处，$F'(x)=f(x)$

均匀分布 $$ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} ,x \in(a,b)\ 0, 其他 \end{cases} $$

称X服从区间$(a,b)$的均匀分布，记为$X$~$U(a,b)$

正态分布 $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

称X服从参数为$(\mu,\sigma)$的正态分布，记为$X$~$N(\mu,\sigma^2)$

性质

（1）$\sigma$越大，曲线峰越低，越扁平；$\sigma$越小，曲线峰越，越瘦

（2）$N(0,1)$为标准正态分布，分布函数$\Phi(x)+\Phi(-x)=1$，普通的正态分布函数$F(a)=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$

指数分布 $$ f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} , x>0\ 0 ,x \le 0 \end{cases} $$

\[ F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x} , x>0\\ 0 ,x \le 0 \end{cases} \]

指数分布的无记忆性
$$ P({X>t_0+t|X>t_0})=P(X>t) \ $$

\[ P(X>t_0+t)=P(x>t_0)P(X>t) \]