Chapter 1 概率论的基本概念

概率加法公式

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \]

推广：

\[ P(A\cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) \]

\[ P(\overset{n}{\underset{j=1}{\cup}}A_j)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}P(A_i)-\underset {i<j}{\sum}P(A_iA_j)+\underset {i<j<k}{\sum}P(A_iA_jA_k)-...+(-1)^{n-1}P(A_1A_2...A_n),n\ge1 \]

条件概率公式

$$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$ 条件概率乘法公式： 当$P(A)\neq0,P(B)\neq0$时 $$ P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B) $$ 推广：

$P(AB)\neq0$时 $$ P(ABC)=P(A)\cdot P(B|A) \cdot P(C|AB) $$

全概率公式

\[ P(A)=\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}P(B_j)P(A|B_j) \]

贝叶斯公式

\[ P(B_k|A)=\frac{P(B_kA)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}P(B_j)P(A|B_j)},k=1,2,..,n. \]

$P(B_k|A)$称为后验概率，当$A,B_k$不独立时，先验概率和后验概率不等。

事件的独立性

当$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$时，称事件$A,B$独立

事件$A,B$独立时，条件概率等于无条件概率，即$P(B|A)=P(B)$或$P(A|B)=P(A)$

事件$A,B$独立时，$A$与$\overline{B}$, $\overline{A}$与${B}$ , $\overline{A}$与$\overline{B}$均相互独立

若事件$A,B,C$满足: $$ P(AB)=P(A)P(B) $$ $$ P(AC)=P(A)P(C) $$

\[ P(BC)=P(B)P(C) \]

都成立，则$A,B,C$两两独立。若$A,B,C$还满足： $$ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) $$ 则称事件$A,B,C$相互独立