第8章 Z变换

1. Z变换

Z变换可以理解为连续信号采样形式的拉氏变换，即离散信号的拉氏变换 $$ X(s)=L[x_s(t)]=L[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)L[\delta(t-nT)]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)e^{-snT} $$ $z=e^{sT}$或$z=re^{j\Omega}$ $$ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n} $$ $X(z)$是连续复变函数

z变换本质是在对$\delta[n]$及其延时做拉氏变换，$z^{-n}$反映了信号的延时和相位的变化

Z变换存在条件

$|x[n]z^{-n}|$绝对可和，即 $$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]z^{-n}|<\infty $$

Z变换收敛域

收敛域可以判断左边序列和右边序列

$X(z)$ 的收敛域是 $z$ 平面内以原点为中心的圆环；
$X(z)$ 的收敛域不含有极点（收敛域以极点为边界）；
$x[n]$ 为有限长序列，$X(z)$ 的收敛域为整个 $z$ 平面（$0$ 和 $\infty$ 可能除外）；
$x[n]$ 是右边序列，若 $|z| = r_0$ 在收敛域内，则 $|z| > r_0$ 的全部区域都在收敛域内（圆外）；
$x[n]$ 是左边序列，若 $|z| = r_0$ 在收敛域内，则 $|z| < r_0$ 的全部区域都在收敛域内（圆内）；
$x[n]$ 是双边序列，若 $|z| = r_0$ 在收敛域内，则 $X(z)$ 的收敛域是包括 $|z| = r_0$ 的圆环；
$x[n]$ 为右边序列，其收敛域为模最大的极点所在的圆外；
$x[n]$ 为左边序列，其收敛域为模最小的极点所在的圆内；

2. 常见信号的Z变换

单位冲激信号

\[ \mathcal{Z}(\delta[n-q])=z^{-q} \quad (q>0,|z|\neq 0) \]

单位阶跃信号

\[ \mathcal{Z}(u[n])=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1} \quad (|z|>1) \]

指数信号

右边序列

\[ \mathcal{Z}(a^n u[n])=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a} \quad (|z|>|a|) \]

左边序列

\[ \mathcal{Z}(-a^n u[-n-1])=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a} \quad (|z|<|a|) \]

若 $a = e^b$，则： $$ \mathcal{Z}(e^{bn} u[n]) =\frac{z}{z - e^b} \quad (|z| > |e^b|) $$

余弦序列

\[ \mathcal{Z}(\cos[\Omega_0 n] u[n]) = \frac{1}{2} \mathcal{Z}(e^{j \Omega_0 n} u[n] + e^{-j \Omega_0 n} u[n]) \]

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{z}{z - e^{j \Omega_0}} + \frac{z}{z - e^{-j \Omega_0}} \right) = \frac{z(z - \cos \Omega_0)}{z^2 - 2z \cos \Omega_0 + 1} \quad (|z| > 1) \]

正弦序列

\[ \mathcal{Z}(\sin[\Omega_0 n] u[n]) = \frac{1}{2j} \mathcal{Z}(e^{j \Omega_0 n} u[n] - e^{-j \Omega_0 n} u[n]) \]

\[ = \frac{1}{2j} \left( \frac{z}{z - e^{j \Omega_0}} - \frac{z}{z - e^{-j \Omega_0}} \right) = \frac{z \sin \Omega_0}{z^2 - 2z \cos \Omega_0 + 1} \quad (|z| > 1) \]

阶梯序列

\[ \mathcal{Z}(n u[n]) = \frac{z}{(z-1)^2} \]

3. Z变换性质

性质名称	时域信号 $x[n]$	Z 域变换 $X(z)$	收敛域 (ROC)
线性 (Linearity)	$a x_1[n] + b x_2[n]$	$a X_1(z) + b X_2(z)$	至少 $ROC_1 \cap ROC_2$
时移 (Time Shifting)	$x[n - n_0]$	$z^{-n_0} X(z)$	与原 ROC 基本相同
Z 域尺度变换 (Scaling)	$a^n x[n]$	$X(z/a)$	$
时域反折 (Time Reversal)	$x[-n]$	$X(1/z)$	$1/R_{max} <
共轭 (Conjugation)	$x^*[n]$	$X^(z^)$	原 ROC
微分 (Differentiation)	$n x[n]$	$-z \frac{dX(z)}{dz}$	原 ROC
卷积 (Convolution)	$x_1[n] * x_2[n]$	$X_1(z) \cdot X_2(z)$	至少 $ROC_1 \cap ROC_2$
初值定理 (Initial Value)	$x[n]=0, n<0$	$x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)$	-
终值定理 (Final Value)	$x[n]$ 为稳态	$x[\infty] = \lim_{z \to 1} (z-1)X(z)$	包含单位圆 $

时移性质 (Time Shifting)

这是分析 LTI 系统最基本的工具。右移 $n_0$ 个单位（延迟）相当于在 Z 域乘以 $z^{-n_0}$： $$ x[n-n_0] \leftrightarrow z^{-n_0}X(z) $$ 注意：

若 $n_0 > 0$，可能会在 $z=0$ 处增加极点。
若 $n_0 < 0$，可能会在 $z=\infty$ 处增加极点。

Z 域微分 (Differentiation)

当序列乘以 $n$ 时，对应 Z 域的求导操作，这常用于求解具有重根极点的系统响应： $$ n x[n] \leftrightarrow -z \frac{dX(z)}{dz} $$

卷积性质 (Convolution)

时域的线性卷积等于 Z 域的代数乘积。这是利用传递函数 $H(z)$ 分析系统的理论基石 $$ y[n] = x[n] * h[n] \Longleftrightarrow Y(z) = X(z)H(z) $$

4. 逆Z变换

\[ x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{k-1}dz \]

长除法

右边序列

排列方式： 分母按 $z$ 降幂排列。
表达式： $\(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n} = x[0]z^0 + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \cdots + x[n]z^{-n} + \cdots$\)
收敛域： $|z| \in (R_{x1}, \infty)$

左边序列

排列方式： 分母按 $z$ 升幂排列。
表达式： $\(X(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} x[n]z^{-n} = x[-1]z^1 + x[-2]z^2 + x[-3]z^3 + \cdots$\)
收敛域： $|z| \in (0, R_{x2})$

因式分解法

构造辅助函数：对 $\frac{X(z)}{z}$ 进行部分分式展开： $$ \frac{X(z)}{z} = \frac{c_0}{z} + \frac{c_1}{z - p_1} + \frac{c_2}{z - p_2} + \dots + \frac{c_N}{z - p_N} $$ 计算待定系数 $c_i$： $$ c_i = \left[ (z - p_i) \frac{X(z)}{z} \right]_{z=p_i}, \quad i=1, 2, \dots, N $$ 还原 $X(z)$ 并求逆变换： $$ X(z) = c_0 + \frac{c_1 z}{z - p_1} + \frac{c_2 z}{z - p_2} + \dots + \frac{c_N z}{z - p_N} $$

\[ x[n] = c_0 \delta[n] + c_1 p_1^n + c_2 p_2^n + \dots + c_N p_N^n, \quad n=0, 1, 2, \dots \]

5. FT、LT、DTFT、ZT的关系

6. Z变换分析系统传递函数

利用Z变换将系统差分方程转换为Z变换的方程。

步骤:

1.对差分方程两边取z变换，可以假设没有初值。

2.求解代数方程得到 $Y(z)$。

3.对 $Y(z)$ 求反变换得到 $y[n]$。

传递函数 (Transfer Function)

在零初始条件（$x(0^-)=0$，系统无初始能量）下，系统传递函数 $H(z)$ 定义为输出变换与输入变换之比： $$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} $$

7.系统因果性和稳定性判别

因果性

$h[n]$为右边序列，$h[n]=0$当$n<0$

$H[z]$中分母最高次指数$N$大于等于分子最高次项指数$M$，即传递函数z变换形式极点个数大于等于零点个数

稳定性

定义：当输入信号收敛时输出信号也收敛

判断：

拉氏变换形式中$p$的实部小于0，即极点在负半平面

z变换中极点在单位圆内部

总体描述：收敛域内包含虚轴，注：收敛域内不能有极点

性质名称	时域信号 \(x[n]\)	Z 域变换 \(X(z)\)	收敛域 (ROC)
线性 (Linearity)	\(a x_1[n] + b x_2[n]\)	\(a X_1(z) + b X_2(z)\)	至少 \(ROC_1 \cap ROC_2\)
时移 (Time Shifting)	\(x[n - n_0]\)	\(z^{-n_0} X(z)\)	与原 ROC 基本相同
Z 域尺度变换 (Scaling)	\(a^n x[n]\)	\(X(z/a)\)	$
时域反折 (Time Reversal)	\(x[-n]\)	\(X(1/z)\)	$1/R_{max} <
共轭 (Conjugation)	\(x^*[n]\)	\(X^(z^)\)	原 ROC
微分 (Differentiation)	\(n x[n]\)	\(-z \frac{dX(z)}{dz}\)	原 ROC
卷积 (Convolution)	\(x_1[n] * x_2[n]\)	\(X_1(z) \cdot X_2(z)\)	至少 \(ROC_1 \cap ROC_2\)
初值定理 (Initial Value)	\(x[n]=0, n<0\)	\(x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)\)	-
终值定理 (Final Value)	\(x[n]\) 为稳态	\(x[\infty] = \lim_{z \to 1} (z-1)X(z)\)	包含单位圆 $