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第7章 拉普拉斯变换与传递函数表示法

1.拉普拉斯变换

公式

原因：部分信号的傅里叶变换不收敛，选择给信号的函数乘上一个\(e^{-\sigma t}\)，使得信号傅里叶变换可以收敛

变化形式 $$ F(\omega)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j \omega t}dt=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-(\sigma+j \omega) t}dt $$ 记\(s=\sigma+j\omega\) $$ F_{\sigma}(\omega)=F(\frac{s-\sigma}{j})=F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt $$

拉普拉斯反变换

\[ f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}F(s)e^{st}ds \]

常用函数的拉普拉斯变换

单位阶跃函数

\[ L[u(t)] = \frac{1}{s} \]

单位冲激函数

\[ L[\delta(t)] = 1 \]

指数函数

\[ L[e^{kt}] = \frac{1}{s-k} \]

幂函数

\[ $L[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad n=0,1,2... \]

广义形式: \(L[t^a] = \frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}}, \quad a>-1\)

三角函数

\[ $L[\sin \omega t] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \]
\[ L[\cos \omega t] = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]

2. 拉普拉斯变换的性质

线性性质 (Linearity)

\[ L[k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t)] = k_1 F_1(s) + k_2 F_2(s) \]

平移性质 (Shifting Property)

时移性质 (Time Shifting):

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，则对于 \(t_0 > 0\): $$ L[f(t-t_0)u(t-t_0)] = e^{-st_0}F(s) $$ 反变换时常用于处理延迟信号，\(L^{-1}[e^{-st_0}F(s)] = f(t-t_0)u(t-t_0)\)。

频移性质 (Frequency Shifting)

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，则对于任意复数 \(s_0\): $$ L[e^{s_0 t}f(t)] = F(s-s_0) $$

微分性质 (Differentiation)

时域微分 (Derivative of Original Function)

\[ L[f'(t)] = sF(s) - f(0^+) \]

二阶微分

\[ L[f''(t)] = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \]

高阶微分

\[ L[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) \]

零初始条件

若系统无初始能量，则 \(\dot{x}(t) \leftrightarrow sX(s)\)​。

\(s\) 域微分 (Derivative of Transform)

$$ L[(-t)^n f(t)] = F^{(n)}(s) $$ 或者写为 \(L[t f(t)] = -F'(s)\)。

积分性质 (Integration)

时域积分

\[ L\left[ \int_0^t f(\tau) d\tau \right] = \frac{1}{s}F(s) \]

\(s\) 域积分

若 \(\int_s^\infty F(s)ds\) 收敛，则： $$ L\left[ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_s^\infty F(u) du $$

卷积性质 (Convolution)

定义卷积 \(f_1(t) * f_2(t) = \int_0^t f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau\)，则： $$ L[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(s) \cdot F_2(s) $$

3. 拉普拉斯反变换的计算

反变换公式（反演公式）： $$ f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}F(s)e^{st}ds $$ 通常不直接积分，而是使用以下方法：

部分分式展开法 (Decomposition Method)

当 \(F(s)\) 为有理分式 \(\frac{B(s)}{A(s)}\) 且分母阶数 \(N\) 大于分子阶数 \(M\) 时，将其展开为： $$ F(s) = \frac{c_1}{s-p_1} + \frac{c_2}{s-p_2} + \dots + \frac{c_N}{s-p_N} $$ 对应的时域信号为指数函数组合： $$ x(t) = c_1 e^{p_1 t} + c_2 e^{p_2 t} + \dots + c_N e^{p_N t}, \quad t \ge 0 $$ \(p_i\)：极点 (poles)

\(c_i\)：留数 (residues)，计算公式 \(c_i = [(s-p_i)X(s)]_{s=p_i}\)

4. 微分方程与传递函数

求解微分方程

利用拉普拉斯变换将线性常系数微分方程转化为代数方程。

步骤:

1.对微分方程两边取拉氏变换（注意利用时域微分性质处理初值 \(y(0), y'(0)\) 等）。

2.求解代数方程得到 \(Y(s)\)。

3.对 \(Y(s)\) 求反变换得到 \(y(t)\)。

4.2 传递函数 (Transfer Function)

对于二阶系统： $$ \frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+a_{1}\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{1}\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t) $$ 在零初始条件（\(x(0^-)=0\)，系统无初始能量）下，系统传递函数 \(H(s)\) 定义为输出变换与输入变换之比： $$ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_1 s + b_0}{s^2 + a_1 s + a_0} $$