第5章 系统频域分析与采样
1.系统频率响应
时域 $$ y(t)=x(t)*h(t) $$ 频域 $$ Y(\omega)=X(\omega)H(\omega) $$
微分方程的系统分析
系统稳定性 Stability
判断：\(h(t)\)的傅里叶变换存在
输入为单一频率复指数信号
\(x(t)=Ae^{j \omega_0 t+\theta}\) $$ y_c(t)=A|H(\omega_0)|e^{j \omega_0 t+\theta+\angle H(\omega_0)} $$ 若输入为单一频率\(\omega_0\)的复指数信号，则输出为该频率\(\omega_0\)的复指数信号乘上幅值系数\(|H(\omega_0)|\) ，同时相移\(\angle H(\omega_0)\)
输入为余弦信号
\(x(t)=A\cos(\omega_0+\theta)\) $$ y_c(t)=A|H(\omega_0)|\cos( \omega_0 t+\theta+\angle H(\omega_0)) $$
若输入为单一频率\(\omega_0\)的余弦，则输出为该频率\(\omega_0\)的复指数信号乘上幅值系数\(|H(\omega_0)|\) ，同时相移\(\angle H(\omega_0)\)
2.采样 Sampling
采样：取值，使原始信号从连续时间信号转化为离散时间信号
公式表示为 $$ x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT) $$
如何计算采样信号
时域乘积表示为频域卷积
\(\delta_T(t)\)的傅里叶变换
脉冲串信号频谱也是脉冲串，但注意：间隔不同；幅值不同
\(\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\delta_T(\omega)\)卷积结果
采样过程频域本质 $$ X_s(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\omega-k\omega_s) $$ 原信号频谱与脉冲串相卷积=信号搬移复制到各脉冲位置上
3.采样信号的重建 Sampling Reconstruction
在频域内的采样信号为原信号在不同频率脉冲的搬移，所以先取到\(\omega=0\)的\(X(\omega)\)
取低通滤波器lowpass filter \(H(\omega)=T_s\cdot p_{2B}(\omega)\)，则\(X(\omega)=X_s(\omega)H(\omega)\)，即\(x(t)=x_s(t)*h(t)\)
低通滤波器\(\omega_{max}<B\le\frac{\omega_s}{2}\)
通过傅里叶反变换得到\(h(t)\) $$ h(t)=\frac{BT_s}{\pi}\text{sinc}Bt $$
交换求和和积分 $$ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)h(t-\tau)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)h(t-nT) $$
最后得到的插值公式Interpolation formula $$ x(t)=\frac{BT}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\text{sinc}[B(t-nT)] $$
奈奎斯特采样定理 Nyquist Sampling Theorem
信号若能重建，必须满足采样频率\(\omega_s>2W\)，\(W\)为原始信号在频域上宽度的一半，\(2W\)称为奈奎斯特频率
若\(\omega_s<2W\)，则信号会出现混叠Aliasing
混叠时信号频域变化
不满足奈奎斯特采样定理，信号出现混叠，\(f_h\)的频率被误判为\(f_s-f_h\)
如何避免混叠
提高采样率
抗混叠滤波
先对原信号滤波，适当舍弃高频率部分