第4章 连续时间信号的傅里叶级数与傅里叶变换
1.傅里叶变换 Fourier Transform
简单来讲就是把信号从时域转化为频域
任何一个信号都可以看成不同频率正弦余弦信号的叠加
2.周期信号的傅里叶级数 Fourier Series
\[
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{jk\omega_0t},\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}
\]
\[
c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt
\]
傅里叶变换存在的条件
在一个周期内绝对可积
在一个周期内有有限个最小值和最大值
在一个周期内有有限个不连续点
3.非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换
\[
X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt
\]
傅里叶反变换Inverse Fourier Transform
\[
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega
\]
幅值谱和相位谱Amplitude Spectrum and Phase Spectrum
\[
|X(\omega)|,\angle X(\omega)
\]
对于\(X(\omega)=\frac{a+jb\omega}{c+jd\omega}\)， $$ |X(\omega)|=\frac{\sqrt{a^2+b^2\omega^2}}{\sqrt{c^2+d^2\omega^2}} $$
\[
\angle X(\omega)=\arctan \frac{b\omega}{a}-\arctan \frac{d\omega}{c}
\]
常见信号的傅里叶变换
单边指数信号
\[
x(t)=e^{-bt}u(t)\rightarrow X(\omega)=\frac{1}{b+j\omega}
\]
双边指数信号
\[
x(t)=e^{-b|t|}\rightarrow X(\omega)=\frac{1}{b+j\omega}+\frac{1}{b-j\omega}=\frac{2b}{b^2+\omega^2}
\]
门函数 Rectangular pulse function
\[
p_{\tau}(t)\rightarrow \tau \text{sinc}(\frac{\tau \omega}{2}),\text{sinc}x=\frac{\sin x}{x}
\]
单位脉冲函数
\[
\delta(t) \leftrightarrow 1
\]
其他常见函数的广义傅里叶变换
\[
1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)
\]
\[
u(t) \leftrightarrow \frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)
\]
\[
e^{j\omega_0t} \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)
\]
\[
\cos \omega_0t \leftrightarrow \pi \delta(\omega-\omega_0)+\pi \delta(\omega+\omega_0)
\]
4.傅里叶变换性质
线性
\[
af_1(t)+bf_2(t)\leftrightarrow aF_1(\omega)+bF_2(\omega)
\]
时移
\[
f(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}F(\omega)
\]
频移
\[
e^{j\omega_0 t}f(t)\leftrightarrow F(\omega-\omega_0)
\]
对称性
\[
F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)
\]
时间尺度变化
\[
f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})
\]
\[
f(-t)\leftrightarrow F(-\omega)
\]
卷积
\[
x(t)*h(t)\leftrightarrow X(\omega)H(\omega)
\]
\[
x(t)h(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(\omega)H(\omega)
\]
微分和积分性质
\[
f^{(n)}(t)\leftrightarrow(j\omega)^nF(\omega)
\]
\[
\int_{-\infty}^{t}f(x)dx \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{j\omega}
\]
积分和微分都能用，用积分不容易漏掉\(\delta(\omega)\) $$ F^{(n)}(\omega)\leftrightarrow(-jt)^{n}f(t) $$
5.常用结论
\[
p_{\tau}(t)\leftrightarrow \tau\text{sinc}(\frac{\tau \omega}{2})
\]
\[
p_{\tau}(\omega)\leftrightarrow \frac{\tau}{2\pi}\text{sinc}(\frac{\tau t}{2})
\]