第3章 卷积
1.用卷积（Convolution）求解离散系统方程
根据冲激信号的性质，任意一个离散的输入信号可以写为 $$ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] $$ 对于一个线性时不变系统（LTI system），我们可以通过以下步骤求解一个系统方程
求解系统单位脉冲响应（unit impulse response）\(h[n]\)
\[
x[n]=\delta[n]\rightarrow y[n]=h[n]
\]
\[
h[n]=f(\delta[n])
\]
利用卷积求解\(y[n]\)
由于\(x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]\)，根据线性时不变系统性质，我们可以得到 $$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] $$ 我们把\(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\)的计算形式叫作卷积，可以记为 $$ y[n]=x[n]*h[n] $$
计算卷积的方法
解析法（Analytical form）
直接根据卷积的公式求解
数组法（Array Method）
适用于简单序列，将卷积的两个信号写成\(\{a_1,a_2,...,a_n\}_{n}\)的形式，\(a_1\)为第一个非零量，\(n\)为第一个非零量的起始横坐标，然后用矩阵法或竖式法求解
竖式法如下图
图解法
适用于稍复杂一些的信号
例题
重要结论
两个序列卷积后的长度为\(L_1+L_2-1\),首个非零起始位置为\(n_1+n_2\)
矩形窗序列与矩形窗序列卷积后为三角窗
2.卷积的性质
Associativity 结合律
\[
x[n]*(v[n]*w[n])=(x[n]*v[n])*w[n]
\]
Commutativity 交换律
\[
x[n]*v[n]=v[n]*x[n]
\]
\[
\sum_{i=-\infty}^{+\infty}x[i]v[n-i]=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}v[i]x[n-i]
\]
Distributivity with addition 分配律
\[
x[n]*(v[n]+w[n])=x[n]*v[n]+x[n]*w[n]
\]
Shift property 平移性
\[
w[n]=x[n]*v[n]
\]
\[
w[n-q]=x[n-q]*v[n]=x[n]*v[n-q]
\]
Convolution with the unit pulse 与单位脉冲的卷积
\[
x[n]*\delta[n]=x[n]
\]
\[
x[n]*\delta[n-q]=x[n-q]
\]
卷积的作用：滤波
3.连续信号卷积
\[
x[t]*h[t]=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau
\]
微分特性
\[
\frac{d(x(t)*v(t))}{dt}=\frac{dx(t)}{dt}*v(t)=x(t)*\frac{dv(t)}{dt}
\]
积分特性
\[
\int_{-\infty}^t(x(\tau)*v(\tau))d\tau=(\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau)*v(t)=x(t)*(\int_{-\infty}^tv(\tau)d\tau)
\]
根据积分和微分性质，可以求解单位阶跃信号\(u[n]\)或\(u(t)\)的系统响应
4.系统因果性判断
当\(n<0\)时，\(h[n]=0\)，则系统因果