第1章 信号与系统的基本概念

1.信号的分类

连续时间信号 continuous-time signal

时间和幅值均为连续的信号 \(x(t)\)

离散时间信号 Discrete-Time Signals

时间是离散的，幅值是连续的信号 \(x[n]\)

数字信号 Digital Signal

时间和幅值均为离散的信号

2.信号的变化

微分与积分（Differential and integral）

在连续时间信号中，对信号的微分与积分表示为

\[ x'(t) = \frac{dx}{dt} \]

\[ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \]

而在离散时间信号中，表示为差分和求和形式

\[ x[n]-x[n-1] \]

\[ \sum_{-\infty}^{n}x[k] \]

时移（Time-shift）

\[ x(t-t_0),x[n-n_0] \]

\(t_0<0，n_0<0\)，信号左移，表现为超前（advance）

\(t_0>0，n_0>0\)，信号右移，表现为滞后（delay）

翻褶（Time Reversal）

\[ x(-t),x[-n] \]

表现为关于纵轴镜像对称

注意

实际操作时，如果一个信号同时包括reverse和shift，一般先时移不容易出错

尺度变换（Time Scaling）

\[ x(at),x[an] \]

对于连续时间信号，\(a>1\)，信号被压缩，反之，信号被延伸

对于离散时间信号，\(a>1\)，信号与原信号相比被抽取了几个特定的值，反之，信号和原信号相比被插入了值

周期信号（Periodic Signals）

\[ x(t) = x(t+T) \]

\[ x[n] = x[n+N] \]

非周期性：aperiodic

小结论

①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

判断正弦/余弦序列信号周期性

\[ Acos(\Omega_0n+\phi) \]

\(\frac{2\pi}{\Omega_0}\)为整数或有理数时，为周期信号；为无理数时，为非周期信号

两个连续周期信号相加

\(\frac{T_1}{T_2}\)为有理数时，为周期信号；\(\frac{T_1}{T_2}\)为无理数时，为非周期信号

两个离散周期信号相加

两周期序列之和一定是周期序列。

3.一些基础信号

复指数信号 Complex Exponential Signal

\[ x(t) = e^{j\omega_0t} \]

\[ x[n] = e^{j\Omega_0n}=\cos(\Omega_0n)+j\sin(\Omega_0n) \]

\(x(t)\)为周期信号，\(T=\frac{2\pi}{|\omega_0|}\)

\(x[n]\)为周期信号条件是\(\frac{2\pi}{\Omega_0}\)为有理数，则\(N=m\frac{2\pi}{\Omega_0}\)

连续正弦信号（或者单位复指数信号）：\(\omega_0\)越高，频率越高

离散正弦信号（或者单位复指数信号）：因为受到\(2\pi\)周期的制约，靠近\(\pm \pi\)为高频，靠近0为低频

单位脉冲信号 Unit Pulse Signal

离散形式

\[ \delta[n]=\cases{1,n=0\\0,n \neq 0} \]

取样性质
$$ x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n] $$

\[ x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\delta[n] \]

\[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}x[k]\delta[n-k] \]

连续形式

\[ \delta[t] = 0,t \neq 0 \]

\[ \int_{-\epsilon}^{+\epsilon}\delta(t)dt = 1,\epsilon>0 \]

取样性质
$$ x[t]\delta[t] = x[0]\delta[t] $$

\[ x[t]\delta[t-t_0] = x[t_0]\delta[t] \]

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t)dt = x(0) \]

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0) \]

单位阶跃信号 Step Function

离散形式

\[ u[n]=\cases{1,n\ge0\\0,n< 0} \]

连续形式

\[ u[t]=\cases{1,t\ge0\\0,t< 0} \]

斜坡信号 Ramp Signals

离散形式

\[ r[n]=\cases{n,n\ge0\\0,n< 0} \]

连续形式

\[ r[t]=\cases{t,t\ge0\\0,t< 0} \]

关系

\[ \delta(t) = \frac{du(t)}{dt},u(t) = \int_{-\infty}^{\tau}\delta(\tau)d\tau \]

\[ \delta[n] = u[n]-u[n-1],u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}\delta[n] = \sum_{k=0}^{+\infty}\delta[n-k] \]

一些信号可以看作是常用信号的组合

Rectangular pulse function(矩形脉冲函数/窗函数)

\[ p_{\tau}(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2}) \]

Signum(符号函数)

\[ \text{sgn}(t)=2u(t)-1 \]

4.系统性质

Linearity （线性）

\[ y_1(t) = f(x_1(t)),y_2(t) = f(x_2(t)) \]

\[ y(t) = f(a_1x_1(t)+a_2x_2(t)) = a_1y_1(t) + a_2y_2(t) \]

Time invariance（时不变性）

\[ y(t) = f(x(t)) \]

\[ y(t-t_0) = f(x(t-t_0)) \]

Causality（因果性）

\(y[n]\)只取决于\(x[n-1]，x[n-2],...,x[n-n_0]\)，则系统因果，否则为非因果

Memoryless system（无记忆性）

For any time \(t_1\), the value of the output at time \(t_1\) depends only on the value of the input at time \(t_1\)

只取决于当下

System with memory（记忆性）

The value of the output at time \(t_1\) depends on the past values of the input before time \(t_1\)

取决于之前和当下

后续知识判断，单位脉冲响应信号\(h(t) = 0\) when \(t < 0\)​

例题

需要注意区分代入一个信号和数学中函数代入变量的区别

待补充郑婧姐姐上课讲的一道题