2024-2025秋复变函数与积分变换回忆卷

1.解方程，并求根的模\(z^2-5(1+i)z+13i=0\)​

2.\(f(z)\)解析，\(u=\frac{x^3+xy^2+x}{x^2+y^2},f(i)=0\),求\(f(z)\)​

3.\(f(z)=\frac{2z}{(1+z^2)^2}，在z=1\)​​处展开为台劳级数，并写出收敛半径和五次项的系数的实部的小数形式

4.\(f(z)=\frac{3z}{(2z-1)(2-z)}\)​​，求麦克劳林级数，和z=0处展开的所有罗朗级数

5.计算积分\(\int_0^{2\pi}e^{cos\theta}cos(n\theta-sin\theta)d\theta\)​​，n为正整数

6.计算积分\(\int_c\frac{1-3z}{(1-z)^2(1+z)}dz\),c为\(|z-1|<1\)（逆时针）,\(|z+1|<1\)​​（顺时针）的八字形曲线

7.计算积分\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xcos2x}{x^2-4x+5}dx\)​

8.求保角映射，将上半平面映为自身，\(w(i)=i,w(-1)=1\)​

9.求保角映射，将{\(Rez>0,|z-1|>1\)​​}映为单位开圆盘

10.\(f(t)=\frac{1}{2}(t-1)^2-sin^2t\),求拉普拉斯变换\(F(s)\)​

11.\(F(s)=e^{-s}ln(1+\frac{1}{s^2})\)，求拉普拉斯逆变换\(f(t)\)​

12.\(f(z)\)为整函数，\(|f(z)|\le\frac{1}{1+\sqrt{|z|}}\),证明\(f(z)\)恒等于0